Valna priroda svjetlosti

Svjetlost je transverzalni elektromagnetski val karakteriziran vremenski promjenljivim električnim i magnetskim poljima. Valna jednadžba koja opisuje propagiranje svjetlosti je oblika:

(1)

gdje je jakost električnog polja, a Laplaceov operator koji u Cartesijevom koordinatnom sustavu ima oblik:

(2)

Analogna jednadžba vrijedi i za magnetsko polje pa za svaku komponentu električnog i magnetskog polja vrijedi:

(3)

gdje opisuje bilo koju komponentu električnog ili magnetskog polja. Jednadžba (3) je skalarna valna jednadžba, njena rješenja opisuju propagiranje valova u vakuumu. Razmotrimo tipična rješenja.

Ravni valovi

Najvažnije rješenje je harmonički val oblika:

(4)

gdje je prostorni period ili valna dužina, vremenski period, valni broj, kutna frekvencija i početna faza. Vremenska i prostorna ovisnost vala prikazana je na slikama 1 i 2. Ravni val (4) putuje u smjeru osi x brzinom svjetlosti
c ( ). je valna amplituda, a faza vala.

Valna fronta je ploha konstantne faze, koja je općenito okomita na smjer širenja vala. Za ravni val vrijedi da ima konstantnu fazu u svim ravninama okomitim na smjer propagiranja vala u danom vremenu t,

(5)

gdje je valni vektor i prostorni vektor .

U kompleksnoj notaciji ravni val općenito opisujemo kao:

(6)

Sferni valovi

Lako je uvjeriti se da je jednadžba (4) zadovoljena valovima , gdje jakost polja ovisi samo o jednoj varijabli,

(7)

Radi se o sfernim valovima kod kojih je faza konstantna na sfernim plohama. Valnu jednadžbu treba izraziti u polarnom koordinatnom sustavu , gdje vrijedi:

, , .

Skalarna valna jednadžba je sada oblika:

(8)

Najvažnija rješenja su sferni harmonički valovi oblika:

(9)

koje smo izrazili u kompleksnom eksponencijalnom obliku. Vidimo da amplituda sfernih valova opada s 1/r. Na velikim udaljenostima od izvora, sferni valovi mogu lokalno biti aproksimirani ravnim valovima. Kompleksne amplitude proizvoljnih (općenito veoma složenih) valnih fronta mogu biti opisane superpozicijom ravnih i sfernih valova.

Helmholtzova jednadžba

Za monokromatske valove je oblika:

(10)

gdje opisuje prostornu ovisnost amplitude i faze valnog podražaja. Uvrštenjem (10) u (3) vremenska komponenta ovisnosti nestaje, a prostorni dio zadovoljava Helmholtzovu jednadžbu

(11)

Kompleksna amplituda monokromatskog vala koji se širi u z smjeru je oblika:

(12)

Oblik (fazor) (12), gdje valno polje ovisi samo o prostornim koordinatama a ne i o vremenu, veoma uspješno se može koristiti u računanju mnogih problema u koherentnoj optici. Ipak, treba naglasiti da (12) ne opisuje stvarni val, jer kompleksnom funkcijom ne možemo direktno opisati realnu fizikalnu veličinu.